Matrices en la PAU: cinco errores que conviene no llevar al examen

Las matrices son el primer tema de Matemáticas II y, en la PAU de Castilla-La Mancha, la puerta de la pregunta de álgebra, que es obligatoria y vale 2 puntos. Casi nunca salen solas: en las convocatorias recientes han aparecido junto a la inversa, el determinante o el rango. Pero los fallos que más se repiten no están en esas partes difíciles, sino en las operaciones de base.

Casi todos tienen el mismo origen: aplicar a las matrices una regla que solo vale para números. Estos son cinco, sacados del material del tema de Matrices del curso, con la forma de detectarlos y de hacerlo bien.

1. Escribir $AB = BA$ sin más

El producto de matrices no es conmutativo. A veces $BA$ ni siquiera existe; otras existe pero tiene otra dimensión, y aunque las dos sean cuadradas del mismo orden, lo normal es que den matrices distintas.

Un ejemplo del banco de ejercicios del curso: con $A$ de dimensión $2\times3$ y $B$ de $3\times2$ existen los dos productos, pero $AB$ es $2\times2$ y $BA$ es $3\times3$. No es que den números distintos: es que no se parecen en nada.

Cómo detectarlo: antes de operar, escribe las dimensiones. $(m\times n)\cdot(n\times p)=m\times p$: las interiores tienen que coincidir y las exteriores dan el resultado. Cómo hacerlo: respeta siempre el orden de los factores.

2. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

La fórmula del cuadrado de una suma usa, sin decirlo, que $ab=ba$. Con matrices no vale:

$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$

$AB$ y $BA$ no se pueden juntar en $2AB$. Lo mismo le pasa a la suma por diferencia: $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2$, que no es $A^2-B^2$.

Cómo detectarlo: si en tu desarrollo aparece un $2AB$, sospecha.

3. Despejar «dividiendo»

No existe la división de matrices. Para quitar la matriz que multiplica a $X$ se multiplica por su inversa por el mismo lado en el que está:

$AX=B\;\Rightarrow\;X=A^{-1}B \qquad\qquad XA=B\;\Rightarrow\;X=BA^{-1}$

Y $A^{-1}B$ no es lo mismo que $BA^{-1}$. La PAU lo pregunta tal cual: en junio de 2021, la UCLM pidió despejar $X$ en $X\cdot A+3\cdot A=B$. Ahí la $A$ está a la derecha de $X$, así que se multiplica por $A^{-1}$ por la derecha: $X=(B-3A)A^{-1}=BA^{-1}-3I$. Multiplicar por la izquierda no simplifica nada.

En aquel examen, según los criterios publicados, despejar $X$ con letras valía 0,5 puntos del apartado, antes de hacer una sola cuenta.

Cómo hacerlo: primero con letras, justificando que la matriz es invertible; los números, al final.

4. Sacar factor común con un 1

En junio de 2025 la ecuación era $A\cdot X-B=X$. Hay que agrupar las $X$ y sacar factor común… con la identidad:

$AX-X=B\;\Rightarrow\;(A-I)X=B$

Escribir $(A-1)X$ es un error de concepto: restar un número a una matriz no está definido. Y el resto del ejercicio dependía de ese paso, porque la solución es única exactamente cuando $A-I$ tiene inversa.

Cómo detectarlo: un número suelto sumado o restado a una matriz. Cómo hacerlo: $AX - X = AX - IX = (A-I)X$.

5. Olvidar que al invertir o trasponer un producto se da la vuelta al orden

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \qquad\qquad (AB)^t=B^tA^t$

Escribir $A^{-1}B^{-1}$ o $A^tB^t$ es de los errores más frecuentes, y los dos se pueden desmontar con cualquier ejemplo $2\times2$ en medio minuto.

Cómo detectarlo: comprueba con dos matrices sencillas antes de fiarte de la fórmula.

Uno de regalo: $AB=O$ no obliga a nada

Con números, si un producto es cero, uno de los factores es cero. Con matrices, no: hay matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula. Solo se puede «cancelar» $A$ si tiene inversa.

Por qué importa tanto

Ninguno de estos errores es una cuenta mal hecha: son razonamientos que no valen. Y en la PAU de la UCLM se puntúa el razonamiento, con un descuento aparte por falta de rigor. Lo explicamos con los criterios oficiales en cómo se corrige Matemáticas II en la PAU.

La mejor vacuna es probar las fórmulas con matrices concretas antes de fiarte de ellas. Es lo que se hace en los laboratorios de la teoría del curso de Matemáticas II: eliges una fórmula, predices si se cumple y la pones a prueba con matrices al azar.

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Fuentes. Material del tema 1 (Matrices) del curso de Matemáticas II de Academia Apogeo: teoría interactiva y banco de ejercicios. Universidad de Castilla-La Mancha: exámenes de Matemáticas II de la PAU de junio de 2025 (ejercicio 3, apartado b) y de la EvAU de junio de 2021 (ejercicio 1), con sus soluciones y criterios de corrección; Información de la materia Matemáticas II, curso 2025-2026. Consultado el 27 de septiembre de 2026.