Determinantes y rango en la PAU: qué entra y cómo lo preguntan

Determinantes y rango es el segundo tema del bloque de álgebra de Matemáticas II y el que más aparece, de una forma u otra, en la pregunta 3 de la PAU de Castilla-La Mancha: la de álgebra, obligatoria y de 2 puntos. Aquí va qué dice exactamente la UCLM sobre este tema y cómo lo ha preguntado en los últimos exámenes.

Qué dice la UCLM

La información oficial de la materia (curso 2025-2026) incluye entre los contenidos mínimos:

• Determinantes: definición, propiedades y cálculo.
• Matriz inversa: definición, propiedades y cálculo.
• Rango de una matriz, «posiblemente dependiente de uno o varios parámetros», por el método de Gauss o con determinantes.

Y añade tres precisiones que conviene tener subrayadas:

1. Los determinantes serán, como máximo, de cuarto orden.
2. «Es importante insistir en la utilización de las propiedades de los determinantes». No es una frase de relleno: hay preguntas que se resuelven solo con propiedades, sin hacer una cuenta.
3. Los sistemas con parámetro, que son la continuación natural de este tema, tendrán como máximo tres incógnitas.

Cómo lo han preguntado

Estos son enunciados reales de la UCLM. Se repiten cuatro tipos de pregunta.

Rango con un parámetro. En julio de 2026, la pregunta 3 pedía estudiar el rango de

$A=\begin{pmatrix}a&a-1&a^2-a\\a&1&a\\a&1&a-1\end{pmatrix}$

según el valor de $a$ (1,5 puntos) y, después, para qué valores tiene inversa (0,5 puntos). Los criterios oficiales repartían así el primer apartado: calcular el determinante, 0,5; encontrar los valores que lo anulan, 0,25; y justificar el rango en cada caso ($a=0$, $a=2$ y el resto), 0,25 cada uno. El determinante sale $a(a-2)$: solo en $a=0$ y $a=2$ puede bajar el rango, y ahí hay que mirar menores más pequeños.

¿Para qué valores hay inversa? Es la misma idea con otras palabras: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En julio de 2025 se preguntaba para qué valores de $a$ era invertible el producto de una matriz $2\times3$ por otra $3\times2$, y después su inversa en función de $a$. En la EvAU de julio de 2020, el mismo razonamiento con una matriz $4\times4$, el orden máximo que admite la UCLM: para eso hay que saber hacer ceros antes de desarrollar.

Propiedades, sin cuentas. En el modelo de examen del curso 2026-2027, medio punto dice así: sea $M$ una matriz cuadrada de orden 4 con $\det M=12$; determina el rango de $M^2$. La respuesta es una línea: $\det(M^2)=(\det M)^2=144\neq0$, así que $M^2$ es invertible y su rango es 4. En la EvAU de julio de 2024 se pedía algo parecido con $\det(A^n)$.

La trampa del «en función de». En la EvAU de junio de 2024 se pedía el rango de una matriz $3\times4$ «en función de los valores de $a$»… y el rango era 3 para todo $a$. El enunciado sugiere casos que no existen; hay que comprobarlo, no suponerlo. Y como la matriz no es cuadrada, no tiene determinante: se trabaja con menores de orden 3.

Los errores que más cuestan

Sacados de la teoría del tema en el curso:

• $\det(kA)=k\det A$. Falso: multiplicar la matriz por $k$ multiplica cada una de sus $n$ filas, así que $\det(kA)=k^n\det A$.
• $\det(A+B)=\det A+\det B$. No existe esa propiedad. La que sí existe es la del producto: $\det(AB)=\det A\cdot\det B$.
• «$\det A=0$, luego el rango es $n-1$». Que el determinante se anule solo descarta el rango máximo; podría ser menor. Hay que encontrar un menor no nulo del orden que digas.
• Dividir entre $a-2$ al escalonar. Si $a=2$, estás dividiendo entre cero justo en el caso que importa. O se abre el caso aparte o se usan menores.
• Olvidar trasponer al calcular la inversa por adjuntos: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}[\mathrm{Adj}(A)]^t$. Comprueba siempre que $A\cdot A^{-1}=I$.

La calculadora, en su sitio

En la PAU de la UCLM se permiten las calculadoras de tipo 1 y 2. Las de tipo 2 calculan determinantes e inversas; lo que no está permitido es una calculadora que calcule rangos. En la práctica, la calculadora sirve para comprobar un determinante, no para sustituir el razonamiento escrito, que es lo que se puntúa (lo explicamos en cómo se corrige Matemáticas II).

Qué estudiar, en orden

1. Determinantes de orden 2 y 3 hasta que salgan sin pensar.
2. Las propiedades, con su «para qué»: son las que convierten un orden 4 en una cuenta corta y las que responden preguntas enteras.
3. Rango con parámetro por menores, escribiendo la conclusión por casos.
4. La inversa por adjuntos, con su comprobación.

Es el orden del tema 2 del curso de Matemáticas II, que viene justo después de las matrices y sus errores más comunes. Y el siguiente, sistemas de ecuaciones, se apoya entero en lo que se aprende aquí. Puedes ver el recorrido completo en el temario.

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Fuentes. Universidad de Castilla-La Mancha, Coordinación de la PAU: Información de la materia Matemáticas II, curso 2025-2026 (contenidos mínimos, orientaciones sobre el sentido algebraico y calculadoras permitidas) y Modelo de examen de Matemáticas II, curso 2026-2027. UCLM, exámenes de Matemáticas II con soluciones y criterios de corrección: PAU de julio de 2026 (pregunta 3) y de julio de 2025 (ejercicio 3); EvAU de junio y julio de 2024 y de julio de 2020. Material del tema 2 (Determinantes y rango) del curso de Academia Apogeo. Consultado el 27 de septiembre de 2026.